Древнерусские дроби
1.Как исторически выстраивалась система древнерусских дробей?
Древнерусские дроби чаще всего использовались на Руси для вычислений, которые требуют использования различных мер. Например: измерение площади участков или при счёте денег. И в XVI веке в России начали распространяться дроби.
Понятие «дробь» появилось в VIII веке. Произошло оно от слов «дробить», «ломать».
Очень часто мы в жизни встречаемся с древнерусскими дробями. Например: на работе выручку нужно поделить на 8 человек. Каждому достанется одна восьмая часть выручки.
Если хотят обозначить половину чего-либо, обычно используют слово «пол». Представим яблоко. Будем его делить древнерусскими дробями.
Половина - пол яблока
Одна третья часть – треть яблока
Одна четвертая часть – четверть яблока
Одна шестая часть – пол - трети яблока
Одна восьмая часть - пол - четверти яблока
Одна двенадцатая часть – пол – пол – трети яблока
Одна шестнадцатая часть – пол – пол - чети яблока и т. д.
1.2. Какие дроби являлись основными в этой системе?
Основными дробями на Руси являлись: 1⁄2(половина),1⁄3 (треть), 1⁄4(четверть)
1.3. Когда и в связи с чем произошел переход к цифирным дробям?
Человечество уже очень давно пользовалось дробями, но не записывали их с помощью десятичных знаков. Об этом догадались позже.
В Европе распространение десятичных дробей началось в XVI веке. А в России они начали распространяться в XVII веке.
Торговля, наука и многое другое все больше нуждались в вычислениях. А именно в десятичных числах, потому что с ними было легче.
Ещё большую популярность десятичные числа получили после появления весов и метрической системы мер. И сейчас десятичные числа используются намного чаще, чем обыкновенные.
2.Каковы особенности древнерусского речевого выражения правильных и смешанных дробей в доцифирной арифметике?
Система дробей древнерусских. В источниках часто встречается деление отдельных мер, денежных единиц и отдельных мер на мелкие части по системе двух и трех.
Чтобы правильно понимать это деление, необходимо хорошо себе представить структуру древнерусских мер. Половина какого-либо числа обозначается словом «пол». Одна треть числа – слово «треть». Одна четверть – слово «четь». Одна шестая – слово «четь», Одна восьмая – слово «четь», Одна двенадцатая – слово «четверть», Одна двадцать четвертая – слово «четь». Одна двадцать четыре – слово «четверть». Одна тридцать четвертая — слово «четь». Двенадцатая — слово «четверть», Двенадцатая – слово «четы», Двенадцатая «четы», Дведцать вторая — слово «четь» и т.д. Так появляются понятия: «четверть коробья», «четверть зобницы», «четверть коробьи», «деньги» и так далее. Постепенное присоединение частицы «пол» дает еще более дробные части, делящиеся на два. Не стоит путать «четь» или «четь» как единицу измерения земельного участка или меру сыпучего тела, с «четью» или «четью» как дробь. Если уяснить себе различие между этими двумя понятиями, то система древнерусских измерений поверхности не представляет трудностей для понимания. Дробное выражение «пол» – 1/8. Но половина четверти – это осьмина (более мелкая единица измерений). Поэтому, пол-осьмины – 1/4 четверти как земельной меры, а пол-осьмины - 1/8 (или пол-четверти) четверти как земельской меры. Стоит также помнить, что часто в древнерусских источниках дроби выражаются посредством сложения или вычитания. Например, 11/24 – треть (1/3) и пол-трети (+ 1/12) и пол-трети (+1 1/24). Или 29/96 – треть без пол-полу-четверти (1/3 — 1/32). Наконец, стоит остановиться на обозначении целого числа с дробями. Для обозначения числа без половины единицы используется выражение: пол-указанного неполного числа единиц. Например: 2, 1/2 – полтретьи (три без половины, 2 единицы и половины третьей единицы); 3, 1/2 – полчетверты; 4, 1/2 – полшесты; 6, 1/2 – полосьмы; 7, 1/2, = полосьмы; 8, 1/3 – десять; 10, 1/2 – десять. Не следует путать выражения: полтрети (2, 1/2 и пол - трети (1/6); полчетверты (3,½) и получетверти (1/8). Для целого числа без дроби (меньше половины) древнерусские дроби выражают путем вычитания. К примеру, 4, 3/4 = 5 без четверти, 6, 7/8 = 7 без четверти, 9, 11/12 = 10 без четверти. Для целых чисел без дроби (меньшее половины) мы найдем такие выражения: два с третью (2, 1/3), три с четвертью (З, 1/4) и т.п.

Coшное письмо
Каковы исторические и экономические причины возникновения сошной арифметики-древнерусского учения о дробях. Каковы её особенности? Какие инструменты и приёмы сошной арифметики использовались в 16-17 вв.?
Мы никогда не задавались этим вопросом, но нам стало очень интересно поразмышлять над ним. Для того, чтобы ответить на него давайте сначала узнаем, что такое сошное письмо. Сошное письмо использовалось на Руси в 15-17 веках для описания земельных владений на селе и в городах Русского государства, это кадастровая система, единицей которой служила соха. Оно проводилось с целью последующего поземельного обложения-сбора податей и отбывания повинностей.
В первых учебниках математики дроби называли долями, позднее их стали называть «ломаными числами». В русском языке понятие дробь появилось в 8 веке, оно произошло от глагола дробить, и означало- разбивать что-либо на части. При записи чисел использовалась горизонтальная черта.
В старых руководствах есть следующие названия дробей:
1/2- половина, полтина
1/3- треть
1/4- четь
1/6- полтреть
1/8-полчеть и т.д.
В России использовалась такая земельная мера, как четверть и более мелкая- осьмина. Это были конкретные дроби, они служили для измерения площади земель, но осьминой нельзя было измерить время, скорость и др. Значительно позднее осьмина стала означать дробь 1/8, которой можно было обозначить любую величину.
С 16 века в России пользовался большим спросом дощаной счёт- с помощью прибора, который был прообразом русских счётов. Он имел очень широкое распространение среди торговцев, землемеров, служащих московских приказов и др.
В первоначальной форме дощаной счёт был предназначен для сошной арифметики. Наряду со сложением, вычитанием, умножением и делением целых чисел, здесь нужно было производить те же операции с дробями, так как условная единица- соха, делилась на части.
5. Проанализируйте содержание рукописи и переведите каждое из 21-го правила на язык современной математики. Проверьте математически эти правила на возможные ошибки, допущенные древними авторами.
Дроби при сложении могли не приводиться к общему знаменателю. Писали так:
(2/10+1/5)
Также в дробях могли приравнивать целое к сумме денег.
В сошной арифметике занимались и с небольшими дробями. В некоторых рукописях есть чертежи и описания «дщиц счетных», но с большим числом рядов с одной костью, так что на них можно откладывать доли до 1/128 и 1/96. Для вычислителей приводилось много правил:
«Свода мелких костей»
Сложения употребительных в сошном счете дробей.