Цепные дроби

Цепные дроби - крайне интересный раздел математики. В общем виде цепная дробь выглядит так, как представлено на рисунке. С одной стороны - ничего сложного, но с другой - мозги кипят, когда пытаешься понять это... В виде цепной дроби можно представить любое вещественное число, причем конечной непрерывной дробью число можно представить только когда оно рационально. Кроме развлечения пытливых умов, у таких дробей есть вполне реальное назначение. Они используются в теории чисел, вычислительной математике, крайне полезны в математическом анализе, физике, механике. При большом желании, можно любое число представить в виде бесконечной цепной дроби. Интересные факты о цепных дробях Ботаника В ботанике известно явление филлотаксиса — спиралевидного расположения листьев, колючек, чешуек, семян, … Если посчитать количество спиралей, закручивающихся в одну и в другую стороны, то, как правило, получатся два соседних числа Фибоначчи, т.е. числа из последовательности {Fn} = {0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, …}, в которой F0 = 0, F1 = 1, Fn+1 = Fn + Fn–1 (n ≥ 1). Так, на сосновой шишке есть 3 спирали, закручивающиеся в одну сторону, и 5 — в другую. На еловой — 5 и 8 спиралей соответственно, на кедровой — 8 и 13. Отношения соседних чисел Фибоначчи раскладываются в очень простые цепные дроби, например, 5/3 = [1; 1, 1, 1], 8/5 = [1; 1, 1, 1, 1]. Это подходящие дроби к числу, называемому золотым сечением: (1 + √5)/2 = 1+1/((1+...+1/(1+...))= [1]. Расположение листьев по таким спиралям позволяет растениям получать наибольшее количество солнечных лучей. На рисунках 1 и 2 изображён «чертёж» сосновой шишки. Представьте, что эти квадраты вырезаны из бумаги и склеены в цилиндры (левая сторона склеена с правой, а заштрихованные квадраты одного цвета наклеены друг на друга). Тогда повёрнутые квадраты будут располагаться на цилиндре так же, как располагаются чешуйки на сосновой шишке. На рисунке 1 видно 3 спирали, закрученные в одну сторону, а на рисунке 2 — 5 спиралей, закрученных в другую. Попробуйте нарисовать «чертёж» еловой шишки с 5 и 8 спиралями. Воспользуйтесь для этого миллиметровой бумагой, вам понадобится квадрат 89×89. Музыка Со времён Баха в музыке используется равномерно темперированная шкала, содержащая 12 полутонов в каждой октаве. Если струна длины l (при заданном натяжении) издаёт звук «до» первой октавы, соответствующий частоте f, равной 512 колебаниям в секунду, то струна длиной 2/3l (на струнных инструментах эта длина получается нажатием пальца в соответствующем месте) издаёт звук, имеющий частоту 3/2f (натуральная квинта), а струна длиной 1/2l издаёт звук, имеющий частоту 2f (октава). Наше ухо при сравнении двух звуков улавливает не отношение их частот, а логарифм этого отношения. Естественней всего брать двоичный логарифм, чтобы интервал в одну октаву измерялся как единица: log2 (2f/f) = 1. Почему же возникло деление октавы именно на 12 интервалов? Чтобы октава и натуральная квинта по возможности более точно укладывались в одну и ту же равномерную темперацию (деление октавы на равные по слуху интервалы), октаву нужно поделить на столько частей, чтобы число log2 (3/2) хорошо приближалось дробью с выбранным знаменателем. Подходящими дробями к числу log2 (3/2) = [0; 1, 1, 2, 2, 3, 1, …] будут дроби 1/1, 1/2 , 3/5, 7/12, … Приближения 1 и 1/2 слишком грубые. Приближение 3/5 соответствует пентатонике, существовавшей у народов Востока, а приближение 7/12 — самое удачное. Погрешность log2 |3/2 – 7/12| < 1,7 • 10–3 на слух неразличима. Биография и научная деятельность Христиана Гюйгенса Факты из жизни и научной деятельности 1629 г. Родился в Гааге (ныне Нидерланды) в богатой семье нидерландского поэта, учёного, композитора и дворянина Христиана Гюйгенса. 1629-1645 г. г. В восемь лет Христиан выучил латынь, знал четыре действия арифметики, а в девять лет он познакомился с географией и началами астрономии, умел определять время восхода и захода Солнца во все времена года. Когда Христиану минуло десять лет, он научился слагать стихи на латыни и играть на скрипке, в одиннадцать познакомился с игрой на лютне, а в двенадцать знал основные правила логики. После изучения греческого, французского и итальянского языков, а также игры на клавесине, Христиан перешел к механике, которая захватила его целиком. В 1643 году учитель Христиана сообщает отцу: «Христиана нужно назвать чудом среди мальчиков… Он развертывает свои способности в области механики и конструкций, делает машины удивительные…». 1645 г. Поступает в Лондонский университет на юридический факультет. Начало увлечения физикой, астрономией, оптикой и математикой, которыми начал заниматься на дополнительных факультативах. 1647 г. Поступил в колледж в Бреде (Нидерланды), где его отец служил куратором. 1649 г. Окончание учебы в колледже и начало дипломатической деятельности Генрихе, герцоге Нассау. 1650 г. Приобретает в Лондоне известность экстраординарного математика. 1654 г. Вернулся в Гаагу. Построил свой первый телескоп и начал изучать небо. Разработал общую теорию эволют и эвольвент. 1655 г. Открыл кольца Сатурна (точнее, доказал из существование, т.к. эти кольца видел еще Галилей). 1657 г. Получил голландский патент на конструкцию маятниковых часов и следующие годы своей жизни совершенствовал это изобретение. Издал их описание. 1661 г. Совершил поездку в Англию 1663 г. В 34 года Гюйгенс стал членом Лондонского королевского общества, а спустя два года – руководителем Парижской Академии наук, которая была образована в 1664 году. 1665 г. Переезд в Париж. 1666 г. Становится первым президентом только что открывшейся Парижской Академии наук (на этой должности он проработал 15 лет). 1672 г. Обнаружил ледяную шапку на южном полюсе Марса. 1675 г. Запатентовал карманные часы после изобретенной им часовой спирали, заменяющей маятник. 1680 г. Сконструировал двигатель внутреннего сгорания, где в качестве топлива должен использоваться порох. Но он так и не построил его. Посмертно опубликована его последняя книга «Космотеорос» на латинском языке (это философско-астрономическое размышление о вселенной). Была переведена на английский (1698), голландский (1699), французский (1702), немецкий (1703), русский (1717) и шведский (1774) языки. На русский язык по указу Петра I была переведена Яковом Брюсом под названием «Книга мирозрения». Считается первой в России книгой, где излагается гелиоцентрическая система Коперника. Отечественные ученые, чьи имена связаны с изучением цепных дробей Родион Осиевич Кузьмин (1891-1949) Завершил теорему Гаусса-Кузьмина, начатую Карлом Гауссом. Она звучит так: "Почти для всех (кроме множества меры нуль) вещественных чисел распределение элементов соответствующих им цепных дробей подчиняется статистике Гаусса — Кузьмина; в частности, существует среднее геометрическое всех элементов, и оно равно постоянной Хинчина" Пафнутий Львович Чебышёв (1821-1894) Работал в области теории разложения и сходимости непрерывных дробей, элементами которых являются линейные функции комплексного переменного.